Calculo Diferencial

jueves, 10 de diciembre de 2015

5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortogonales.

Una tangente a una curva es una recta que toca la curva en un solo punto y tiene la misma pendiente que la curva en ese punto. Una normal a una curva es una recta que es perpendicular a la tangente de la curva. La tangente y la normal en un mismo punto en cualquier superficie siempre son perpendiculares entre sí.

El concepto de tangente y normal contiene dos casos especiales: 1). Si la pendiente de la recta tangente es 0, entonces la recta tangente es paralela al eje x. En tales casos, la ecuación de la tangente en el punto x1, y1 es y = y1. 2). Si la tangente es perpendicular al eje x, entonces en ese caso, la pendiente tiende al infinito y la recta tangente es paralela al eje y. La ecuación se convierte entonces en x = x1. Otro término importante asociado con el concepto de curva es el de las curvas ortogonales. Cuando dos o más curvas se intersectan perpendicularmente entre sí, entonces se les conoce como curvas ortogonales. Las tangentes de las curvas ortogonales son perpendiculares entre sí. Además, el producto de sus pendientes es −1.

5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del

cálculo diferencial.

Según este teorema, si f es una función continua en el intervalo cerrado [a, b] y diferenciable en el intervalo abierto (a, b), entonces existe un punto en el intervalo abierto (a, b) tal que la pendiente de la tangente en ese punto es igual a. De acuerdo con la definición geométrica, si f es continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), la pendiente de la recta que une (a, f(a)) y (b, f(b)) es y f'(c) es la pendiente de la tangente (c, f(c)) para la gráfica de y = f(x). Entonces el teorema de valor medio dice que si la curva es continua y = f(x) tiene una tangente en cada punto (x, f(x)) para a<x<b, entonces para algún punto (c, f©), donde a<c<b, la tangente a la curva es paralela a la línea que une los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) en la curva. En este caso, siempre podemos encontrar el punto c \ en (a, b) tal que = f'(c).

Ejemplo:

Supongamos que una motocicleta hace un viaje a una velocidad de 50 km en una hora. Por lo tanto, su razón promedio en ese instante es 50km/h. A fin de mantener una velocidad constante de 50km/h, la motocicleta tiene que viajar a 50 km / h durante todo el tiempo completo o, en caso de que la motocicleta frene en ciertos momentos, entonces debe llenar este vacío acelerando en algunos momentos para mantener la razón de 50km/h durante todo el viaje. Aquí el Teorema del valor medio puede afirmar que durante todo el recorrido, puede haber llegado un punto donde la velocidad real de la motocicleta, coincide con la velocidad media, es decir 50 km / h. Este teorema, conocido también como el Teorema de Lagrange, tiene una importancia extrema en el cálculo y puede ser útil para la solución de numerosos problemas.

5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función. Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades y puntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.

Hay ciertas características, o establecidos simplemente como términos, que pueden ser encontrados en las derivadas. Estos son considerados como las aplicaciones de las derivadas. Algunas de ellas incluyen:

Función creciente y función decreciente: Una de las principales aplicaciones de las derivadas es determinar si la función f está creciendo o decreciendo en un intervalo determinado. Esto puede encontrarse mediante tomar una único derivada de la función. Si resulta ser mayor que 0 en cada punto del intervalo dado, entonces es una función creciente. Por otro lado, si resulta inferior a 0 entonces la función será una función decreciente.

Máximos y mínimos de una función: Se dice que una función tiene un valor máximo en el punto v, cuando el valor de f(v) es mayor que el valor en cualquiera de los puntos vecinos. Del mismo modo, cuando el valor es menor que el valor en sus puntos vecinos, entonces ese valor se convierte en el valor mínimo de la función.

Criterios de la derivada de primer orden para máximos y mínimos: Los relativos máximos o mínimos de la función pueden ser encontrados mediante la búsqueda de la primera derivada de la función. Si la primera derivada resulta ser mayor que 1, en ese caso, se dice que la función está creciendo sobre el intervalo. En el caso inverso, cuando la primera derivada resulta ser menor que 1, entonces se dice la que función es decreciente en ese intervalo.

Concavidades y puntos de inflexión: El concepto de concavidad se utiliza para determinar si la gráfica de la función es de la forma cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. Si para los valores dados de intervalo, la doble derivada de la función es mayor o igual que 0, entonces el gráfico de la función será cóncavo hacia arriba, y cuando la doble derivada se convierte en menor que 0, entonces la forma de la gráfica será cóncava hacia abajo. Ahí se encuentra una posición en la cual el gráfico de la función cambia su forma de cóncava hacia abajo a cóncava hacia arriba o vice-versa. Estas posiciones, o más bien los puntos, son conocidos como puntos de inflexión. En estos puntos de inflexión, la doble derivada de la función se convierte en 0.

Criterios de la derivada de segundo orden para máximos y mínimos: La segunda derivada también puede ser utilizada con el fin de encontrar el punto máximo o mínimo de la función. 1). Se dice que una función posee el máximo local en un punto específico, si, la doble derivada de la función en ese punto es menor que 0. 2). Se dice que una función posee mínimo local en un punto específico, si, la doble derivada de la función en ese punto es mayor que 0. 3). Cuando la doble derivada resulta ser 0, en ese caso, es posible que el punto sea un punto de inflexión.

5.4 Análisis de la variación de funciones

En función de variación acotada, también conocido como BV función, es un numero real con valores de función cuya variación total está limitado (finito): la gráfica de una función con esta propiedad se comporta bien en un sentido preciso. Para una función continua de una sola variable, por ser de variación acotada significa que la distancia a lo largo de la dirección de la yEjes, dejando de lado la contribución del movimiento a lo largo de x Ejes, que recorre un punto movimiento a lo largo de la gráfica tiene un valor finito. Para una función continua de varias variables, el significado de la definición es la misma, excepto por el hecho de que la trayectoria continua que se considera que no puede ser todo el gráfico de la función dada (que es un hipersuperficie en este caso), pero puede ser cada intersección de la propia gráfica con un hiperplano (en el caso de funciones de dos variables, una plano) paralelo a un fijo xEjes y al y Ejes

5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.

Se define en esta sección el concepto de la diferencial, que nos permite representar la derivada como un cociente y hallar el valor aproximado de la variación de una función alrededor de un punto. La definición esta motivada por el siguiente razonamiento geométrico. Sea P(x0, y0) un punto fijo sobre la gráfica de y = f (x) Tomando el punto P(x0, y0) como origen, se introduce un nuevo sistema de coordenadas cuyos ejes dx y dyson paralelos a los ejes antiguos. En este nuevo sistema de coordenadas, la recta tangente en el punto P pasa por el origen y en consecuencia, su ecuaci¨®n es bastante simple, a saber: dy = mdx, donde m es la pendiente. Ahora, como la pendiente en el nuevo sistema es la misma que la del antiguo, esto es m = f ¡¯(x), se tiene entonces: dy = f ¡¯(x) dx Lo anterior nos permite dar la definición formal de las diferencial.

5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.

La optimización se refiere al tipo de problema que se ocupa de la determinación de la forma más apropiada para realizar cierta tarea. Con el fin de resolver estos problemas, se calculan los valores mínimos y máximos de la función. Estos incluyen encontrar la distancia mínima para llegar a un punto, el costo mínimo para hacer determinada operación, etc. La función cuyo máximo o mínimo necesita determinase por lo general está sujeta a ciertas restricciones que deben tomarse en cuenta. Estos problemas son diferentes a los problemas utilizados para encontrar los valores mínimos o máximos locales. Los Problemas de optimización sólo se ocupan de los valores máximos o mínimos que una función puede tomar y no del mínimo o máximo en un intervalo. Es decir, la optimización busca el mínimo o máximo global (absoluto) y no el local. El mínimo o máximo absoluto es el mayor entre el mínimo o máximo local, respectivamente. Puede haber casos, donde el mínimo o máximo global no existe para una función. En estos el dibujo de la gráfica para la función correspondiente puede ayudar en gran manera.

Hay algunos pasos que deben seguirse con el fin de desglosar un problema de optimización:

1). Lo primero y más importante es identificar las variables y constantes de la función. Esto ayuda a determinar la parte de la función que será minimizada o maximizada.

2). Escribir la fórmula adecuada para la función particular, para lo cual tenemos que calcular el mínimo o máximo.

3). Ahora, la fórmula será escrita en términos de una sola variable, es decir, f®.

4). Establezca la diferenciación de f® a 0, f ‘® = 0, y resuelva a través de observar todas las limitaciones y otros valores críticos para encontrar los valores extremos.

Por ejemplo, considere la función, g ® = -r2 + 4r – 2. Y siendo el intervalo en el cual el valor máximo será encontrado [0, 1]. Calculando g ‘® se obtiene, g’ ® = −2r + 4 = 0 Por lo tanto, 2 viene a ser un valor crítico, luego reemplazando el 2 en la función g (2) = 2. Ahora sustituyendo uno por uno los valores del intervalo en el lugar de r, obtenemos, g (0) = −2 g (1) = 1 Se puede observar, que el valor máximo de g® en [0, 1] es 2.

lunes, 30 de noviembre de 2015

Unidad 4 Derivadas.

4.1 Conceptos de incremento y razón de cambio. La derivada de una función.

4.2 La interpretación geométrica de la derivada.

Además de evaluar el valor de una función en cierto punto, también es esencial que evaluemos la variación en el valor de la función a medida que la entrada de la función varía. Esto se conoce como la pendiente de la recta en el caso de una recta lineal. Mientras que para una recta curva, la pendiente de la recta varía en cada punto.

Esto significa que para una línea recta / función lineal se obtiene un número constante como su pendiente. Mientras que para una recta curva la pendiente es una función del valor de entrada de la función.

La noción de derivada puede explicarse de dos maneras, una como la pendiente de la curva, que es la representación geométrica, y la otra como la tasa de variación, que es la representación física. La pendiente de la tangente de la curva extrae la derivada de la función geométrica.

Supongamos que una función f(x) = x2. La gráfica de la función luciría de la siguiente forma

La curva de color azul representa el gráfico de la función. Tome dos puntos en el eje x, supongamos x y x0 como en el gráfico de arriba. Determine el valor de la función en esos valores de x. Ahora trace una línea que pase por esos puntos sobre la curva de la función para obtener una línea recta. La línea roja en el gráfico anterior representa esa línea.

A medida que muevo los puntos sobre el eje x más cerca uno del otro conseguimos una recta menos pronunciada que pasa a través de la curva de la función. En el instante que x = x0, la gráfica se vería así,

En tal situación, la recta tocaría el grafico en un solo punto y por tanto tendría la misma pendiente que la pendiente de la gráfica en ese punto. Esta recta se conoce como la tangente de la función en ese punto.

Determinar la pendiente de la tangente en ese punto te extraerá la derivada de la función en ese punto.

 La pendiente de la recta que posee los puntos(x, f(x)) y (x0, f(x0))  será,

Aquí el valor de x no debe ser igual a x0. Mientras que la pendiente de la tangente, lo que es igual, la derivada de la función, donde tenemos que x = x0 es,

Los valores de m y m(x) son casi iguales cuando los puntos x y x0 están muy cerca uno del otro.

Vale la pena saber que en ciertos lugares es mucho más fácil calcular el límite cuando el valor de la variable es casi igual a cero. Podemos hacerlo mediante la traslación a lo largo del eje x. En efecto, estableciendo el valor de h cuando x – x0 obtenemos,











Ejercicio:

Dada la parábola f(x) = x², hallar los puntos en los que la recta tangente es paralela a la bisectriz del primer cuadrante.

La bisectriz del primer cuadrante tiene como ecuación y = x, por tanto su pendiente es m = 1.

Como las dos rectas son paralelas tendrán la misma pendiente, así que:

f'(a) = 1.

Porque la pendiente de la tangente a la curva es igual a la derivada en el punto x = a.

4.3 Concepto de diferencia, interpretación geométrica de los diferenciales.

El diferencial se puede tomar en el sentido geométrico como la elevación de la tangente desde el punto en que se toma el diferencial.

Recuérdese que la derivada de la función en el punto es la pendiente de la recta tangente a la función en el punto, como sabemos que la tangente de un ángulo es igual al cociente entre el cateto opuesto (incremento de y) y el cateto contiguo (incremento de x) de un hipotético triángulo rectángulo, sólo hay que despejar el incremento de y que equivale a nuestro diferencial.

Vista geométricamente, la elevación se produce verticalmente a partir del punto en que se toma el diferencial. El incremento $\Delta x \,$ que se tome representará el alejamiento horizontal que haga desde el punto en cuestión.

Así la elevación de la tangente que se obtenga como resultado dependerá del punto en cuestión y del alejamiento horizontal que se tomen, que en la formulas matemáticas están definidos respectivamente por $x \,$ y $\Delta x \,$ .

4.4 Propiedades de la derivada.

Algunas de las propiedades más importantes son las siguientes:

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de las dos funciones tomadas individualmente. La misma regla aplica también para la resta de dos derivadas. Esta regla es más conocida por el nombre de la regla de la linealidad.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función. Esta regla se conoce más comúnmente con el nombre de la regla del producto.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de la potencia. Es esencial que n sea un número real para que la propiedad anterior sea cierta.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero. Esta regla se conoce por el nombre de la regla del cociente.

9. La regla de la cadena es una propiedad bastante compleja y se utiliza para funciones compuestas; es decir una función que es impuesta sobre cualquier otra función. De dos funciones diferenciables g(x) y f(x) que haya en una función compuesta h(x) se define como,

h(x) = g(f(x)) = (g 0 f)(x)

Para la función anterior h(x) la derivada puede ser calculada usando la regla de la cadena de la siguiente forma,

La Regla de la cadena sólo puede ser usada cuando existen dependencias en cadena en una función, en otras palabras, para funciones compuestas. Observe un ejemplo resuelto con la regla de la potencia,

d(5x⁴)/dx = 5[d(x⁴)/dx]

= 5(4x⁴−1)

= 5(4x³)

= 204x³

^{Ejercicios: resolver las siguientes derivadas}

4.5 Regla de la cadena

la regla de la cadena es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones. Tiene aplicaciones en el cálculo algebraico de derivadas cuando existe composición de funciones.

En términos intuitivos, si una variable y, depende de una segunda variable u, que a la vez depende de una tercera variable x; entonces, la razón de cambio de y con respecto ax puede ser calculada con el producto de la razón de cambio de y con respecto a u multiplicado por la razón de cambio de u con respecto a x.

Ejemplos:

4.6 Formulas de derivación y formulas de diferenciación.

1 Fórmula de Diferenciación General

, en esta fórmula, c es un valor constante.

, esta es la regla de la potencia de la diferenciación. En esta fórmula, n debe ser exclusivamente un número real.

, lo que significa que cuando un número es diferenciado con respecto a sí mismo producirá uno como resultado.

2 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Logarítmicas

, lo que significa que la diferenciación del logaritmo natural de un número con el mismo número producirá la inversa del número como resultado.

, esta ecuación explica que la diferenciación de un logaritmo natural de la función con respecto a la variable de entrada producirá el inverso de la multiplicación de la función con la derivada de la función como salida.

, esta ecuación explica que la diferenciación del logaritmo de una variable con respecto a su variable de entrada dará el inverso de la multiplicación del número con el logaritmo natural del número.

3 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

, esta fórmula de diferenciación es interesante dado que establece; la diferenciación del exponente de una variable producirá el exponente de la variable como salida.

, esta regla establece que la diferenciación del exponente de una función producirá la multiplicación del exponente de la función con la derivada de la función como salida.

, esta regla establece que la diferenciación de una constante elevada a la potencia de una variable producirá la multiplicación de la constante elevada a la potencia de la misma variable con el logaritmo natural de la constante.

4 Fórmulas de Diferenciación; Funciones Exponenciales

4.7 Derivadas de orden superior, regla de L'Hopital.

La derivada de cualquier función determina la tasa de variación en función de la función con respecto a la entrada de la función. Este proceso de encontrar la derivada de una función se puede aplicar en una cascada muchas veces para encontrar las derivadas de orden superior de la función. Por ejemplo, al diferenciar la derivada de primer orden de la función, uno obtendrá la derivada de segundo orden de la función y a través de la diferenciación de la derivada de segundo orden de la función obtendremos la derivada de tercer orden de la función y así sucesivamente. En términos simples diferenciar la derivada de una función dará lugar a una derivada de la función de orden superior por un grado. La derivada de primer orden de la función se representa como,

La derivada de segundo orden de una función se representa como,

La derivada de tercer orden de una función se representa como,

Y así sucesivamente. La derivada de segundo orden de la función también se conoce como “g doble prima de y”, donde g es la función en términos de y. De manera similar la derivada de tercer orden de una función también se conoce como “g triple prima de y”, etc. Las derivadas de orden superior de cualquier función pueden derivarse de esta forma hasta que la derivada obtenida es diferenciable en sí misma.

La definición formal de L’Hôspital es, existen dos funciones f(x) y g(x). Ahora bien, si

  , además

es real, entonces de acuerdo a la regla del L’Hôspital,

Ejemplos: Resolver las siguientes derivadas por orden superior

1.- F(x)= 3x^4

f'(x)= 12x^3

f''(x)= 36x^2

f'''(x)= 72x

f''''(x)= 72

f'''''(x)= 0

2.- F(x)= 15x^3

f'(x)= 45x^2

f''(x)= 90x

f'''(x)=90

f'''(x)= 0

4.8 Derivadas de funciones implícitas.

Funciones implícitas

Una correspondencia o una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la y sino que la relación entre x e y viene dada por una ecuación de dos incógnitas cuyo segundo miembro es cero.

Derivadas de funciones implícitas

Para hallar la derivada en forma implícita no es necesario despejar y. Basta derivar miembro a miembro, utilizando las reglas vistas hasta ahora y teniendo presente que:

x'=1.

En general y'≠1.

Por lo que omitiremos x' y dejaremos y'.

Cuando las funciones son más complejas vamos a utilizar una regla para facilitar el cálculo:

Ejemplo:

Derivar las funciones: